De Pitágoras a Bach: 2000 años buscando la afinación correcta. Version 1
De Pitágoras a Bach: 2000 años
buscando la afinación correcta.
Introducción
Este artículo, que se titula De
Pitágoras a Bach: 2000 años buscando la afinación correcta, en realidad
debería llamarse buscando el temperamento correcto o adecuado. Conviene
aclarar desde el inicio, sin entrar en tecnicismos, la diferencia entre estos
conceptos: temperamento es el sistema acústico en el cual nos movemos,
mientras que afinación es el modo en que ajustamos nuestro instrumento o
nuestra voz dentro de ese sistema.
La base principal de este trabajo
se encuentra en el Tratado de la Música, Tomo II, de Joaquín Zamacois. Ese
será nuestro punto de partida. No obstante, también consultaremos y reseñaremos
otras fuentes y bibliografías, con el fin de ampliar la perspectiva histórica y
teórica.
No me imaginaba que al empezar
este recorrido me estaba metiendo en un verdadero laberinto. Por eso, la
intención aquí será simplificarlo y presentarlo de la manera más clara
posible. Para no perdernos en discusiones demasiado técnicas, iremos de lo
esencial hacia lo complejo, avanzando paso a paso.
Antes de la bibliografía final,
incluiremos un apéndice, en el que señalaremos al lector distintas
referencias y lugares donde podrá profundizar en teorías más avanzadas. Esos
materiales servirán como recursos de estudio en un momento posterior. Por
ahora, nuestro recorrido buscará lo simple y fundamental.
Zamacois, en realidad, selecciona
estos cuatro sistemas que veremos a continuación, y los presenta con las
siguientes denominaciones:
A. Sistema de Pitágoras – De base
matemática.
B. Sistema de Zarlino – De
carácter físico.
S. Sistema de Holder – Un intento
de mejora del sistema pitagórico.
D. Sistema temperado – El sistema
que utilizamos en la actualidad.
Sistema de Pitágoras
Pitágoras descubrió que al cortar
una cuerda por la mitad, o tocarla en la mitad, el sonido era igual pero más
agudo; es decir, lo que hoy llamamos una octava hacia adelante. El
sonido que se produce en la mitad tiene el doble de frecuencia.
De manera similar, descubrió
otros intervalos:
- La quinta, que se encuentra en los dos
tercios de la cuerda, tiene una frecuencia de tres medios respecto
al sonido original.
- La cuarta, que corresponde a los tres
cuartos de la cuerda, tiene una proporción de cuatro tercios hacia
adelante.
Con estos intervalos, Pitágoras
empezó a construir todas las notas de la escala:
- Para obtener el ré, se encadenan dos quintas
y luego se ajusta una octava hacia atrás; así queda al lado del do.
- Para el mí, se encadenan cuatro quintas y se
reduce una octava hacia atrás hasta que quede en su posición correcta.
- El fa ya lo tenemos, que es la cuarta
(cuatro tercios).
- El sol corresponde a la quinta (tres
medios).
- El la se obtiene encadenando tres quintas y
reduciendo el intervalo.
- El si se obtiene encadenando cinco quintas y
reduciendo el intervalo.
- Finalmente, el do superior es nuevamente la
octava, resultado de tocar la mitad de la cuerda, con el doble de
frecuencia del do inicial.
Cuando hablamos de “reducir el
intervalo” después de encadenar quintas, nos referimos a ajustar la nota dentro
de la octava correcta. En la próxima figura se verá esto claramente.
Fábula
No es cierta la anécdota que dice
que Pitágoras, en lugar de usar cuerdas, descubrió los intervalos con unos chuques
al pasar por una herrería y escuchar los sonidos. La ciencia lo ha
demostrado. En el apéndice de este tratado se abordará el asunto con más
detalle.
Intervalos
Se considera distancia de un tono
exclusivamente la suma de un semitono cromático más uno diatónico, o
viceversa:
- La suma de dos semitonos cromáticos produce
la primera doble aumentada.
- La suma de dos semitonos diatónicos produce
la tercera disminuida, que no constituye un tono.
En este sistema:
- El si sostenido está más alto que el do.
- El re doble bemol está más bajo que el do.
Coma
En acústica se denomina comas (o
commas) a distancias más pequeñas que un semitono, tan reducidas que no tienen
una notación musical convencional. Un ejemplo es la coma pitagórica, que surge
al comparar dos notas inmediatas dentro de un sistema de afinación. Así, el Si#
resulta aproximadamente un coma más alto que el Do natural, mientras
que el Rebb queda alrededor de un coma más alto que el Do.
Inconvenientes
Pitágoras basó su sistema en la quinta,
es decir, en la relación 3/2, pero no prestó atención a si los demás
sonidos de su escala coincidían con los sucesivos. Los intervalos formados por más
de tres quintas ya no coinciden con los criterios físicos, y por eso
posteriormente se abandonó el apoyo a Pitágoras en este aspecto.
La inconveniencia más grande
del sistema pitagórico es que, en una octava, no hay enarmónicos,
por lo que todos los sonidos posibles ascienden a 31.
Las consecuencias de esto son:
- Sería muy difícil construir un instrumento de
afinación fija, como un piano o una guitarra, con 31 notas por
octava.
- Para los cantantes, también sería muy difícil practicar
y dominar toda esa cantidad de afinaciones.
- La música quedaría restringida a personas con una
capacidad excepcional, ya que la mayoría de la gente no podría ser
músico si tuviera que memorizar 31 sonidos distintos.
Zarlino
Gioseffo Zarlino
(1517-1590) fue un monje y teórico musical del Renacimiento que, aunque heredó
muchas ideas de los pensadores griegos como Aristóxeno, también desarrolló
aportes propios. A diferencia de quienes buscaban fundar los sistemas de
afinación en la geometría pura, Zarlino se apoyó en la serie armónica,
es decir, en los armónicos naturales que surgen de cualquier sonido.
Su propuesta tenía una
particularidad: los tonos no eran todos iguales. Por ejemplo, el intervalo
entre los armónicos octavo y noveno (que corresponde a do–re) equivale a
la fracción 9/8, un tono algo más grande que el que se forma entre el
noveno y el décimo armónico (re–mi), cuya fracción es 10/9. Así,
Zarlino distinguió entre tono grande y tono pequeño.
Esta diferencia trae
consecuencias importantes: si entonamos do–re dentro de la escala de do,
ese tono resulta un poco más grande que el mismo do–re cuando aparece
como tercer grado dentro de la escala de si bemol. En otras palabras, el
intervalo “mismo” no siempre mide lo mismo según el contexto. Una paradoja
sonora que abriría un amplio debate en la teoría musical posterior.
Tabla
El sistema de Zarlino presenta
varios inconvenientes. El primero es la existencia de dos tipos de tonos: el tono
mayor y el tono menor. Esto implica que, para mantener la exactitud,
habría que construir un instrumento distinto para cada tónica, una complicación
enorme desde el punto de vista práctico.
En segundo lugar, los músicos
formados bajo la teoría donde el semitono cromático es mayor que el diatónico
consideraban el planteo de Zarlino como algo “antimusical”, ya que en su
sistema ocurre lo contrario.
Por último, su propuesta mantiene
casi tantas notas como la afinación pitagórica dentro de una sola octava. Esto
hace que la construcción de instrumentos y su afinación se vuelva muy difícil,
tanto para el estudio como para la práctica musical.
El sistema de Holder
William Holder (1614–1697)
desarrolló una adaptación del sistema pitagórico que consiste en expresar los
intervalos en una medida común, la coma pitagórica, dividiendo la octava
en 53 comas. De este modo, el semitono cromático equivale a 5 comas, el
semitono diatónico a 4 comas, el tono mayor a 9 comas, y la octava justa a 53
comas en total. Holder buscaba con este procedimiento una mayor coherencia
interna en la división de los intervalos y una aproximación a la regularidad
del temperamento igual.
Sin embargo, el sistema presenta
los mismos problemas prácticos que el pitagórico: la multiplicación de notas y
alteraciones que hacen inviable un solo instrumento universal, ya que cada
tonalidad requeriría ajustes particulares. En este sentido, la teoría resultaba
elegante, pero difícil de aplicar en la práctica musical.
En este marco:
- El semitono cromático equivale a 5 comas,
- El semitono diatónico a 4 comas,
- El tono mayor a 9 comas,
- Y la octava justa resulta de la suma de
cinco tonos más un semitono (5 × 9 + 4 = 53).
Holder buscaba así emparejar
los intervalos para aproximarse a lo que más tarde será el temperamento
igual: un sistema que, sin abandonar la lógica numérica de los pitagóricos,
trataba de acomodar las proporciones para que las músicas sonaran mejor
y fueran más fáciles de modular.
Sin embargo, este método
arrastraba el mismo problema práctico del pitagorismo: la proliferación
de notas y alteraciones distintas para cada tonalidad, lo que hacía imposible
construir un solo instrumento que resolviera todas las necesidades. En otras
palabras, la riqueza teórica se convertía en una dificultad instrumental y
de ejecución, ya que para cada centro tonal había que contemplar
afinaciones diferentes.
Acercándonos al sistema
temperado
Acercándonos al sistema temperado
igual, primero se intentó resolver los problemas que presentaba el sistema
pitagórico. En este, al construir las notas mediante el encadenamiento de
quintas, surgía una dificultad: el Do sostenido resultaba un coma pitagórico
más alto que el Re bemol. Dicho de otra manera, las notas enarmónicas no
coincidían.
La primera estrategia para
corregir este inconveniente fue ajustar la última quinta, pero esto
hacía que no coincidiera con el resto. Posteriormente, se fue probando con
distribuir el ajuste en distintas quintas, de modo que algunas resultaran un
poco más anchas y otras un poco más estrechas. Según cómo y en qué lugar se
hiciera este reparto, se obtenían distintos temperamentos desiguales,
que intentaban suavizar las diferencias.
Finalmente, se llegó al sistema
de temperamento igual, que es el que utilizamos hoy en día. ¿En qué
consiste? En dividir la octava en 12 semitonos exactamente iguales entre sí.
De este modo, cada dos semitonos forman un tono, y se eliminan las diferencias
entre tonos cromáticos y diatónicos: todos pasan a tener la misma proporción.
La base sigue siendo la
construcción pitagórica por quintas, pero con una modificación esencial: cada
quinta se rebaja en una doceava parte de la coma pitagórica, logrando así
que, al completar el ciclo, se cierre de manera exacta. La diferencia entre una
quinta natural (justa) y una quinta temperada equivale a esa fracción de la
coma, también llamada schisma.
Con este procedimiento, las
octavas se mantienen puras, pero las quintas y los demás intervalos se ajustan
mínimamente, de modo que el sistema queda cerrado, coherente y transponible a
cualquier tonalidad.
Bibliografía
Zamacois, J. (2002). Teoría de
la música: Vol. II. VII. Rudimentos de acústica. La afinación de la escala
(pp. 146-156). Ideamúsica Editores S.L., Madrid.
Holder, W. (1694). A Treatise
of the Natural Grounds and Principles of Harmony. London: J. Heptinstall.
Zarlino, G. (1558/1968). Le
istitutioni harmoniche (M. Barbour, Trans.). New York: Da Capo Press.
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